Chapter 3.5 : Making Connections With Rational Functions and Equations

a) f(x) = (x^2 - x - 6) / (x+2)

• Restriction : x+2 ≠ 0

                                          x≠ -2

• Domain : {xɛR , x ≠ -2}
• Equation of vertical asymptote : none

                    Reason : (x^2 - x - 6) / (x+2) = [(x-3)(x+2)] / (x+2)

                                                          So, [(x-3)(x+2)] / (x+2)

                                                                  x-3 = 0 

                                                                      x= 3

• f(-2) = undefined
• Graph : 

The graph is discontinuous at x= -2 , while the point is (-2 , -5)

* N = numerator , D = denominator , HA = Horizontal asymptote , LC = Leading coefficient

Remember : N< D is HA  = 0

                   N> D has no HA 

                   N = D is,  HA = y = LC of N / LC of D

Chapter 3.4 : Solve Rational Equations and Inequalities
a) 4 / (x-5) = 3 / (x+4)
      4(x+4) = 3(x-5)
       4x-3x = -15-16
              x = -31

b) 4 / (x-5) < 3 / (x+4)
    [4 / (x-5)] - [3 / (x+4)] < 0
    (4x+16-3x+15) / (x-5)(x+4) < 0
     (x+31) / (x-5)(x+4) <0

    Find the f(x) < 0
 

Intervals	x< -31	-31 <x< -4	-4 < x < 5	x>5
(x+31)	-	+	+	+
(x-5)	-	-	-	+
(x+4)	-	-	+	+
Sign of f(x)	-	+	-	+

   Therefore, f(x) < 0 is x< -31 or -4 <x< 5


For more information :

Part 1

Part 2

Part 3

Chapter 3.3: Rational Functions of the Form f(x) = ax+b/cx+d
a) f(x) = ax+b/cx+d

• x-intercept : ax+ b = 0

                               ax = -b

                                 x = -b/a

• y-intercept : b/d
• Restriction : cx+d ≠ 0

                                          x ≠ -d/c

• Domain :  {xɛR, x ≠ -d/c }
• Range : {yɛR, y ≠ a/c}
• Vertical asymptote : cx+d = 0

                                                             x = -d/c

• Horizontal asymptote : [a+ (b/x)] / [c + (d/x) ] = 0

                                                                                                        = a/c

 ∴ (b/x) and ( d/x ) is equal to zero. This is because the x is the bigger number.

• There are a few video that regarding on this chapter.

Part 1

Part 2

  

                                                           

Chapter 3.2: Reciprocal of a Quadratic Function
a) f(x) = 3/(x^2 - 4)

• Domain : 3/(x+2)(x-2)

                Therefore, x=-2 and x=2

                       {XɛR, x ≠-2 , x ≠ 2}

• Range :  y>0 or y< -0.75
• Asymptotes: 

                 Vertical asymptote : x→ - 2ˉ, y → ∞

                                                                x→  -2  , y→-∞
                                                x→  2ˉ , y → -∞

                                                                x→  2  , y →∞
                                    Therefore, x= -2 and x = 2.

                 Horizontal asymptote : x→ - ∞ , y → 0

                                                                     x→  ∞  , y→0
                           Therefore, y = 0.

• x- intercept : -2 and 2
• y-intercept  : 0
• For more information, please refer to the following video.

Part 1

Part 2

Part 3

Part 4

Chapter 3.1 : Reciprocal of a Linear Function

α) f(x) = 1/(2x-3)

•     Domain: 2x-3 = 0

                      = {XɛR, x ≠ 3/2}

•     Range :{yɛR, y ≠ 0}
•      Asymptotes : End Behaviour is proved the Vertical and Horizontal asymptotes.

                        Vertical asymptote:       x→0ˉ  , y→ ∞
                                                      x→0    , y→∞

                        Horizontal asymptote:  x→ - ∞ , y → 0

                                                                       x→  ∞  , y→0

•     x-intercept : sub y=0, 1/(2x-3) = 0

                   Therefore, there are no x-intercept.

•     y -intercept : sub x=0, 1/[2(0) - 3]

                                             = -1/ 3

• If you are still not clear on this sub-chapter, you can refer in here.

Part 1

Part 2